Comment apprend-on ?

Il semble que cette interrogation intéresse actuellement au plus haut point la didactique des sciences. Dans leur recherche de repères psycho cognitifs, les didacticiens font le tour de théories influentes, signalent leurs limites respectives et se déclarent insatisfaits de la non prise en compte de la spécificité et de la complexité des objets scientifiques.

Joshua et Dupin (1993) font état d’ un tronc commun généralement retenu par les didacticiens des sciences et le résument en quatre points :

• 1. Le sujet construit ses connaissances par interaction active avec son environnement ; ces connaissances sont structurées, elles ne sont pas le reflet de l’ objet extérieur ;
• 2. Le comportement du sujet est déterminé par le type de ses connaissances et leur structure ;
• 3. Sa production dépend de la structure interne de ses connaissances et de la structure épistémologique du type de problème posé ;
• 4. Les objets et concepts scientifiques sont complexes et pas aisément réductibles en schémas comportementaux et cognitifs de base.
  Je partirai d’ un schéma illustrant la « psychologie tri polaire» de Moscovici. Il paraît en adéquation avec le projet de recherche en didactique et reflète l’ importance de l’ attention accordée aujourd’hui par les didacticiens à l’ approche sociale de l’ apprentissage. Il faut avoir interrogé beaucoup d’ élèves sur leurs évocations pour appréhender que les difficultés de compréhension d’ un concept ne peuvent être attribuées exclusivement à l’ élève lui-même, aux enseignants qui l’ ont instruit ou à l’ objet mathématique.

Observation du sujet : repérage de ses représentations

Avertie des processus mentaux de compréhension, j’avais interrogé ces élèves qui manifestent de très grandes irrégularités de production dans des problèmes de calculs d’aires ou de périmètres : ils peuvent très bien réussir, ou alors échouer complètement, par ce qu’ils ont calculé l’ un à la place de l’ autre. L’enseignant a tendance à conclure un peu rapidement, comme je l’ ai fait pendant des années, qu’ils font des fautes d’étourderie ! Qu ‘ils ne font pas attention. Ce que j’avais alors découvert m’avait stupéfiée : interrogeant un élève qui me disait 1 cm 2 c’est un carré de 1 cm de côté sur ses représentations mentales de 1 cm puis de 1 cm 2 et les faisant dessiner l’ un après l’autre j’ avais découvert étonnée de la production écrite, je lui avais demandé comment cela s’était passé dans sa tête.

Il m’avait répondu : « J’ ai vu un centimètre et je l’ai tordu pour en faire un carré », gestes à l’appui : Un autre m’ a dit plus tard : « j’ ai vu un trait de 1 cm qui s’ entortillait autour du carré« . Jamais je n’ aurais pu imaginer que cela fût possible. Ma surprise était grande, mais je comprenais enfin pourquoi cet élève confondait aire et périmètre alors que ce qu’il disait du centimètre carré pouvait paraître correct, mais surtout je repérais la nature de l’obstacle. L’erreur cadrait parfaitement avec la logique linéaire du vocabulaire : L’ élève prenait en évocation les éléments dans l’ordre où il les entendait : il prenait un centimètre pour le transformer en carré. Poursuivant mes questionnements, je me suis adressée à d’ autres élèves qui eux dessinaient.

J’ aurais pu me satisfaire de ces réponses. La curiosité, l’ intérêt pour les processus mentaux me poussaient à aller plus loin. Me vint alors l’ idée de faire évoquer, puis dessiner, ce que les élèves se représentaient sur 3 cm carrés je le découvris pour une majorité d’entre eux (80 %).

Je pouvais désormais aller plus loin dans l’explication de ces erreurs. Dans « un centimètre carré » le « un » était attribué au « centimètre » au lieu d’être attribué au « carré » et c’ est encore dans la logique linéaire du vocabulaire. Pourquoi, alors, s’ étonner que « trois centimètres carrés », le trois étant aussi attribué au centimètre au lieu de l’être au carré, deviennent un carré de 3 cm de côté ? Le concept « centimètre carré » contient, par son appellation même, un obstacle à la compréhension des élèves : l’ obstacle épistémologique est ici un obstacle verbal.

Quand un travail de remédiation s’impose, le professeur se trompe s’il pense pouvoir déloger une fausse représentation de la tête de ses élèves pour la remplacer, de l’extérieur, par une représentation correcte à force d’explications réitérées, même si celles-ci sont pédagogiquement d’excellente qualité. Seul l’élève peut corriger ses erreurs ! Prenant conscience de ses images mentales, accompagné par l’enseignant, il peut arriver à les modifier durablement par un procédé évocatif décidé par lui .

Comment avais-je pu rester si longtemps dans l’ignorance de cette difficulté ? D’autres enseignants l’avaient sans doute découverte avant moi ? La stupeur des professeurs de mathématiques à qui je propose encore cette analyse en stages de formation me rassure. Je n’étais pas la seule à être passée à côté de l’essentiel ! Quel dommage de méconnaître une telle difficulté à l’école primaire quand les enseignants font tout ce qu’ils peuvent pour amener de jeunes enfants à la compréhension des aires ! Quel dommage de devoir faire de la remédiation en classe de 6e ! Tous nos efforts d’enseignants devraient aller dans le sens de la prévention. Chaque enseignant, quel que soit son niveau d’ intervention, devrait avoir la connaissance de ces obstacles. Cela le rendrait plus vigilant pour aborder les concepts de mathématiques avec la préoccupation essentielle de leur installation mentale dans la tête de ses élèves.

La Gestion Mentale permet au professeur de mathématiques de porter un regard nouveau sur son objet d’ enseignement ; elle lui permet d’ envisager sa didactique sur d’autres bases : celles des moyens mentaux de son acquisition : Un double constat s’ impose.

Chaque objet mathématique a une nature, une structure épistémologique qui impliquent des passages obligés en termes de stratégies mentales. Les concepts mathématiques peuvent être inducteurs de l’activité mentale de l’ élève et contenir des obstacles épistémologiques tels que les a décrits Bachelard, c’est-à-dire, des effets limitatifs sur le développement de sa pensée.

Observation de la pratique pédagogique : influence sur le comportement du sujet

Si l’ exemple précédemment exposé a mis l’accent sur les objets mentaux utilisés par les élèves, notre investigation doit aller plus loin : la réalité mentale est aussi faite de structures de sens, celles-ci sont à découvrir pour que soient inventés des outils didactiques capables d’aider nos élèves à installer des projets mentaux pour des réussites à long terme. En poursuivant la recherche des responsabilités, on découvrira alors que les outils didactiques utilisés peuvent n’être en conformité ni avec la réalité mathématique, ni avec la réalité mentale, ni avec les objectifs visés par l’ enseignant. S’ils ne vont pas dans le sens recherché pour l’activité mentale de l’ élève, il faudra en inventer de nouveaux qui soient des « instruments psychologiques » (Vygotski) d’aide au développement de sa pensée.

Les tables de multiplication font partie des apprentissages de base des mathématiques à l’école, mais le professeur de mathématiques de collège, étonné, ne peut que constater leur non maîtrise. Après des semaines, des mois, des années d’efforts, beaucoup (trop) d’élèves entrant en collège, même s’ ils savent à peu près réciter leurs « tables », hésitent, ânonnent, se trompent, quand ils doivent les utiliser en calcul. Comment ne pas se révolter devant tant d’énergie gaspillée par les enfants, leurs parents bien sûr leurs enseignants ? En quoi cet apprentissage est-il si difficile pour les enfants capables d’apprendre par ailleurs, sans trop de mal, de longues poésies ? Comment faire pour remédier, mais surtout pour prévenir ces échecs ?

Dans cet objectif, il est nécessaire de décrire précisément cette activité de mémorisation, d’en analyser les difficultés sous plusieurs angles : celui de l’ activité elle-même, celui du contexte mathématique et de la présentation de l’ enseignant, et bien sûr celui du cheminement mental de l’élève. Il convenait ensuite de s’ interroger sur les choix didactiques et de rechercher des outils qui donnent un maximum de chances à un plus grand nombre d’élèves tout en préservant la notion de plaisir dans l’apprentissage. C’est en formation d’enseignants que j’ai obtenu la réponse à toutes mes interrogations. Traditionnellement depuis des générations l’enseignant demande à l’élève de pouvoir réciter oralement, par coeur, la totalité d’une table, présentée au dos des cahiers de brouillon. Cet objet mathématique est linéaire et il suit le sens de la lecture, de l’écriture, le sens de la page. Il contient 3 colonnes : la première est monotone, la seconde est connue, c’est la liste des 10 premiers entiers non nuls. Une seule est originale, celle de droite, construite par des additions successives : une grande majorité d’apprenants (70%) élèves en classes adultes en formation va s’approprier cet objet dans une stratégie verticale consistant à éliminer les deux colonnes pour porter tout le travail mental sur la colonne de droite.

En effet, face à ce flot d’ informations, 30 pour chaque table tout le travail intellectuel va se structurer autour d’ un projet mental dominant : réduire le nombre d’informations à stocker. Pour ce faire, la priorité va tout naturellement aller vers les éléments changeants, colonne de droite, délaissant par le fait même l’élément constant, colonne de gauche, et les éléments connus, colonne du milieu. D’ ailleurs, beaucoup de jeunes élèves le disent : « Je ne retiens que les résultats ! » La saisie de ces nombres va se faire linéairement dans l’ ordre où ils sont écrits, de haut en bas. L’ élève va accrocher les nombres l’ un à l’ autre. Il passera du premier au second par l’ajout de 6. Il se crée une chaîne de nombres. Il aura donc sa table de multiplication dans la successivité des nombres de droite. Il s’est constitué un objet mental à structure linéaire. Ne nous étonnons pas alors que pour trouver le résultat de « 6 x 7 », il soit obligé de remonter au début de la chaîne 6 x 1 = 6, 6 x 2 = 12… Il s’est constitué une ligne insécable !

Dans la « comptine numérique » que récite l’ élève, tous les « mots nombres » n’ ont pas la même prégnance. D’ ailleurs certains élèves sont parfois arrêtés dans leur récitation : 6 fois 7, 42 ; 6 fois.. je suis arrivé où déjà ?… » Cette interrogation prouve, s’ il en était encore besoin, que même si tous les nombres sont récités 6, 7 et 42, tous ne sont pas évoqués ! Seul 42 est vraiment présent dans la conscience. Il permet de donner le nombre suivant dans la colonne de droite 48 (42 + 6) mais n’ est pas véritablement mis en relation avec le 6 et le 7. L’ enseignant qui fait apprendre par coeur une table de multiplication a en tête l’ utilisation que ses élèves devront en faire en calcul, et il le leur dit. D’ ailleurs, il a à coeur de les interroger dans le désordre. Il doit être conscient qu ‘il demande alors à la majorité de ses élèves un changement complet de stratégie. La stratégie verticale majoritairement utilisée ne cadre pas avec le projet de restitution dans le désordre.

Même si l’ élève sait réciter la table de 6, ce n’ est pas pour autant qu ‘il saura extraire rapidement 6 x 7 = 42 ! Ceci suppose en effet un changement complet de stratégie.Il faut abandonner le sens construit verticalement, oublier l’ enchaînement linéaire du « par coeur », redonner au « 6 » et au « 7 » la place qu ‘ils avaient perdue dans l’ effort de mémorisation précédente, briser des liens établis dans l’ ensemble initial pour créer des « sous-ensembles » autonomes, en associant 3 nombres qui ne l’ étaient pas nécessairement, donc faire des liens horizontaux ! Ce changement de stratégie représente une très grande difficulté pour beaucoup d’ élèves, la première activité ne leur facilite pas la seconde : ils ont fait de la comptine un tout insécable, et ils doivent désormais la faire éclater pour la reconstruire autrement. Ils ont donné à leur objet mental une structure de sens de linéarité et une destinée de récitation de la totalité.

Dans le choix pédagogique de l’ enseignant, il y a plusieurs croyances implicites l’ élève apprendra plus facilement quand il aura compris comment sont formés les produits, il est nécessaire, ou tout au moins facilitant, de posséder l’ ensemble pour avoir accès à un élément ! Si l’ élève sait sa table par coeur, il saura isoler rapidement 6 x 7 = 42, pour l’ utiliser en calcul.

Ces implicites sont le signe d’ une méconnaissance des lois du fonctionnement mental

On peut s’ interroger sur la pertinence d’ un tel choix pédagogique. Certes, il a fait la preuve de son efficacité sur des générations d’ élèves, mais il continue à échouer pour beaucoup d’ autres. J’ ai pu tester, auprès des élèves en difficulté de mémorisation, la pertinence de la présentation d’ une table de multiplication en « mandala » comme ci après :

Le lecteur pourra remarquer que les produits 6, 12, 18… ne se retrouvent pas sur la même ligne, ceci pour éviter que l’ élève ne retombe dans une « linéarité circulaire ». Pour l’ avoir régulièrement utilisée en formation d’ adultes, je peux affirmer que la disposition en mandala ne provoque pas chez les stagiaires la même activité mentale qu ‘une disposition linéaire. La disposition linéaire précipite une majorité d’ élèves dans une stratégie d’ échec par ce que inadaptée à ce que cherche l’ enseignant. La structure spatiale de cette table permet à l’ apprenant de diriger son activité mentale dans le sens que souhaite l’ enseignant et que nécessite l’ utilisation en calcul : la création de sous globalités.

Il s’ agit de mettre la forme de l’ outil didactique au service du fond de l’ activité mentale

L’ analyse de ce deuxième exemple met l’ accent sur une nécessité : Dans le cadre d’ une recherche didactique et épistémologique, l’ enseignant devra se poser la question : quand je fais un choix didactique, et j’ ai des raisons de le faire, qu ‘est-ce que cela entraîne pour mes élèves, tous mes élèves ? En quoi ce choix peut-il être gênant pour certains d’ entre eux et qu ‘est-ce que je peux proposer d’ autre pour que tous aient accès à la réussite ?
« Une tâche fondamentale de la didactique réside donc dans l’ analyse des propriétés didactiques des divers systèmes symboliques pour comprendre leurs effets […] pour éclairer les choix que le pédagogue est amené à faire » (Brissiaud, 1989)

Observation d’ une activité mathématique : la démonstration en géométrie. Liens entre structure de connaissance et structure de tâche

Les nouveaux programmes de mathématiques du collège prévoient, comme les anciens, une initiation progressive à la déduction dès la classe de 6e, et un apprentissage de la démonstration à proprement parler dès la classe de 5e. Il faut remarquer que les élèves arrivent en 4e avec un a priori négatif par rapport à la démonstration. L’ enseignant de 4e doit alors se livrer à un véritable travail de dé dramatisation d’ un apprentissage qui se passe rarement en douceur. Dans les faits, la démonstration ne fait pas explicitement l’ objet d’ un enseignement. L’ enseignant montre un certain nombre d’ exemples, demande à ses élèves de reproduire ces modèles et évalue les productions individuelles en pointant alors acquisition ou non acquisition de l’ activité mathématique. Celle-ci demande à l’ élève de mobiliser des connaissances spécifiques : théorèmes et définitions, et de les organiser dans un raisonnement déductif. Il faut interroger les élèves sur les structures de sens données à leur activité de mémorisation des théorèmes pour comprendre les difficultés d’ apprentissage de la démonstration.

Dans la mesure où un théorème de géométrie correspond toujours à une représentation spatiale, une grande majorité des élèves ont en mémoire des images visuelles plus ou moins précises sur un théorème. Ces images visuelles portent en elles, par nature, la globalité d’ une situation géométrique mettant en évidence la simultanéité de plusieurs phénomènes. Concernant la médiatrice d’ un segment par exemple, les élèves savent facilement réciter la définition et les deux propriétés.

Définition : « La médiatrice du segment [AB] est la perpendiculaire à la droite (AB) qui passe par le milieu du segment [AB] ».

Propriété n ° 1 : « Si un point est situé sur la médiatrice d’ un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment ».

Propriété n ° 2 : « Si un point est équidistant des extrémités d’ un segment, alors il est situé sur la médiatrice de ce segment ».

Ils disent qu ‘ils ont des difficultés en démonstration à « trouver le bon théorème ». Questionnés sur leur activité intellectuelle, ils révèlent un objet mental unique pour les trois propositions précédentes dominant, pour ne pas dire exclusif : réciter ! Ils ont donné à leur mémorisation un sens de spatialité et une destinée de récitation. Or, si la définition est de structure spatiale, les deux propriétés sont, elles, de structure temporelle : l’ accès à la démonstration, c’ est à dire au raisonnement déductif, nécessite le codage de la temporalité du « si. alors.» du théorème. Si les élèves ont le même objet mental sur une définition, un théorème et sa réciproque, il ne faut pas s’ étonner qu ‘ils aient du mal à les différencier et à choisir en démonstration. La mise en relation d’ un problème et d’ un théorème ne peut être rapide et efficace que si elle a été préparée au moment même de l’ apprentissage du théorème. Il faut alors donner aux propositions apprises un sens de temporalité et une destinée d’ argumentation.Pour permettre à l’ élève, qui mémorise un théorème sur la base d’ une image visuelle globale en P2, de séparer celle-ci en deux images dont les différences l’ amènent à coder deux états différents : un état initial et un état final, j’ ai imaginé un outil : « La carte d’ identité d’ un théorème ». Celle-ci suggère la construction de deux dessins différents, pour signifier deux états : l’ un pour le « si » (état initial), l’ autre pour le « alors » (état final). Le premier donne l’ indice : « Quand l’ utiliser», le second celui : « Pour prouver quoi »

• Si un point est situé sur la médiatrice d’ un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
• Si un point est équidistant des extrémités d’ un segment, alors il est situé sur la médiatrice de ce segment.

La séparation de ces deux états permet à l’ élève de coder une transformation dans son espace mental, donc de le temporaliser et d’ accéder ainsi à la linéarité du raisonnement déductif en repérant cause et conséquence, alors que la structure spatiale de son évocation ne lui permettait pas de le faire. Celui qui se souvient de l’ enchaînement des mots peut aussi mettre de l’ espace dans son temps mental en complétant sa verbalisation du théorème par deux images visuelles successives ou une image en transformation. La « carte d’ identité d’ un théorème » se veut être un « outil psychologique » d’ aide à la pensée déductive. La gestion mentale permet d’ analyser finement les difficultés exprimées par les élèves ou relatées par leurs enseignants. Mesurant l’ écart entre structure de compréhension et structure de tâche, le professeur de mathématiques peut faire des choix pédagogiques susceptibles de le réduire pour faciliter l’ accès au raisonnement déductif.

Schématisation d’ une activité mathématique : la mise en équation d’ un problème Les passages obligés de la compréhension

Lorsque les didacticiens expriment la complexité des concepts mathématiques et la difficulté à les réduire en schémas comportementaux ou cognitifs de base, la gestion mentale peut amener son éclairage en exposant des constantes dans l’ itinéraire mental de la compréhension. Dans ses ouvrages, Antoine de La Garanderie a longuement décrit le cadre de déroulement de la compréhension : « C’ est seulement dans l’ espace ou dans le temps qu ‘on découvre un « sens » aux choses ou aux êtres ».

Je dois à France Pagès de m’ avoir alertée sur les immenses conséquences pédagogiques de cet aspect spatio-temporel de la compréhension. Elle ma permis d’ élucider des difficultés d’ apprentissage que j’ avais seulement entrevues. France Pagès présente en effet un travail passionnant d’ analyse des « incontournables » dans les stratégies de compréhension de la lecture, de la grammaire, des mathématiques… Dans son sillage, j’ ai été amenée à approfondir une recherche à peine ébauchée sur l’ analyse des difficultés de compréhension des mathématiques au collège. Le travail qui va suivre est, comme le précédent, inspiré de nos échanges et de nos interrogations.

Exemple de problème : « Un père a vingt-huit ans de plus que son fils. Dans huit ans son âge sera le double de celui de son fils. Trouver l’ âge du père et l’ âge du fils. »

Traditionnellement l’ enseignant donne à ses élèves un modèle de stratégie en disant :

• 1. Choisir une inconnue : x ;
• 2. Exprimer les autres inconnues en fonction de x ;
• 3. Revenir au problème et poser l’ équation.

Il leur dit ce qu ‘il faut faire, mais il laisse dans l’ implicite les moyens pour le faire. Or, des élèves qui savent résoudre des équations sont très souvent mal à l’ aise, voire pris de panique, quand il s’ agit de mettre un problème en équation. Toute leur énergie est alors tendue vers l’ objectif signifié par le professeur : trouver l’ équation La prégnance de cette finalité les empêche souvent d’ analyser les données du problème dans lequel les espaces et les transformationssont subtilement imbriqués. Pour aider à la stratégie de sériation spatio-temporelle, il fallait tenir compte de cette double structure et proposer un outils conforme à ce que doit être l’ activité mentale de compréhension déjà exposée dans le paragraphe précédent . Dans un problème de mise en équation, les états sont des nombres et les transformations sont des opérateurs. Voici donc, tenant compte de cette structure, la stratégie en cinq points proposée aux élèves de 4e :

• 1. Combien y a t il dans ce problème de nombres cachés ?
• 2. Poser en schéma autant d’ espace que de nombres cachés
• 3. Choisir l’ un d’ eux comme inconnue : « x »
• 4. Poser des flèches pour relier les espaces et chercher à partir de l’énoncé les opérations à poser sur ces flèches (transformations à faire pour passer de l’ un à l’ autre)
• 5. Effectuer des comparaisons entre plusieurs espaces pour aboutir à une égalité.

L’ élève complète les différentes cases, la comparaison des deux dernières lui fournit l’ équation: (x + 8) x 2 = (x + 28) + 8.

Ce schéma n’ est pas un passage obligé, il est un outil au service de tous ceux dont l’ activité mentale de sériation spatio-temporelle ne se déroule pas spontanément. La première proposition dit ce qu ‘il convient de faire, la seconde explicite précisément les moyens de le faire et procure aux élèves un « outil psychologique » d’ aide à leur déroulement mental de sériation spatio-temporelle.

Conclusion :entre pédagogie et didactique,la gestion mentale

Pour sortir de cette dualité, didactique ou pédagogie, et mettre en évidence leur possible complémentarité, ne conviendrait-il pas de placer le concept d’ obstacle épistémologique au centre de nos préoccupations pédagogiques? Compte tenu qu ‘un obstacle n’ existe que s’ il y a un sujet et un objet, s’ intéressant à l’ élève qui rencontre un obstacle, on ne peut pas ignorer ce qu ‘il cherche à saisir, et se penchant sur l’ objet d’ apprentissage, on ne peut perdre de vue le sujet à qui on le destine. La gestion mentale nous met dans une situation privilégiée de découverte de ces obstacles; elle nous permet d’ en analyser l’ origine, la nature et la structure. Elle nous ouvre alors la voie de l’ invention de nature et la structure. Elle nous ouvre alors la voie de l’ invention de stratégies didactiques capables de les traverser, de les contourner si ce n’ est de les supprimer.
La gestion mentale offre à l’ enseignant qui veut bien s’ en instruire avec sérieux une grille de lecture lui permettant de vivre son enseignement dans l’ intelligence de l’ instant pédagogique. Or, chaque discipline d’ enseignement pose des problèmes pédagogiques spécifiques. Ayant découvert et décrit précisément ces itinéraires mentaux d’ accès à la compréhension de sa discipline, le professeur a la possibilité de préparer des séquences pédagogiques en anticipant les effets induits dans la tête de ses élèves. Il lui faut alors créer des outils didactiques en conformité avec la structure des concepts et avec ce qu ‘il cherche pour l’ activité mentale de l’ apprenant. Il semble que ce travail soit à peine ébauché par les praticiens en gestion mentale ; en tout cas, s’ il existe, il reste encore trop confidentiel et mériterait d’ être largement développé et diffusé. La gestion mentale peut grandement élargir le champ d’ investigation de la recherche didactique. Celle-ci ne peut plus séparer l’ étude des moyens de transmission des savoirs de celle des moyens mentaux de leur acquisition.